Рис. 1.9. Диаграммы сжатия – растяжения прослоек из плотной резины при разных скоростях нагружения
Более быстрое нагружение ( ) проводилось на ударном стенде, схема которого приведена на рис. 1.10. Испытываемая прослойка 1 помещалась между двух стержней 2 и 3, нижний 3 помещался в обойме 4 и имел возможность свободно скользить в ней. Верхний стержень 2 был снабжен акселерометром 5. При поднятии системы и последующем бросании, нижний стержень ударялся о массивное основание. После этого начиналось колебательное движение верхнего стержня, регистрируемое с помощью акселерометра.
Для анализа данных таких испытаний было проведено моделирование работы ударного стенда по схеме рис. 1.11, в которой стержни заменены массами и , а прослойка — идеальной пружиной искомой жесткости . Нижний торец стержня 3 имел сферическое закругление. Это позволило в расчетной схеме использовать закон взаимодействия Герца, определяемого коэффициентом [12]. Ускорение верхнего стержня находилось в результате решения системы дифференциальных уравнений
, (1.18)

с начальными условиями при : где — скорость стержней в момент перед ударом. По осциллограммам записей находился период времени от начала импульса до точки минимума сигнала . По значениям с помощью итерационных расчетов системы (1.18) определялись жесткости прослоек , значения которых приведены в таблице. Из нее видно, что у плотной резины и линолеума наблюдается заметное увеличение жесткости с увеличением скорости деформирования. У пенопласта и пористой резины этот эффект менее заметен. Для описания нелинейных свойств деформирования прослоек была использована модель, представленная на рис. 1.12 в виде комбинации упругих и демпфирующих элементов.

Рис. 1.10 Рис. 1.11
Сила сжатия F упругого элемента определяется соотношением , демпфирующего — , где — удлинение и скорость удлинения элемента, K, — жесткость и коэффициент вязкости. Если упругий и демпфирующий элементы соединены последовательно, то F определяется из уравнения — . Интегрируя его, получаем
, .
В случае параллельного соединения силы, действующие со стороны каждого элемента, складываются. В результате для модели рис. 1.12 сила , действующая на массу с координатой справа, выражается формулой
. (1.19)

Рис. 1.12. Вязкоупругая модель прослойки
Аналогичное уравнение есть и для силы , действующей слева. Используя закон движения , получаем систему уравнений, определяющих движение масс в составной сборке
, . (1.20)
Для медленных нагружений силы, создаваемые демпфирующими элементами, малы и поведение прослойки определяется упругим элементом . Таким образом можно принять . Для больших скоростей жесткость прослойки приближается к . Параметры , и модели прослоек, представленной на рис. 1.12, не известны. В настоящей работе значения их подбирались из условия наилучшего согласования экспериментальных и теоретических данных. Особое внимание при этом обращалось на соответствие величин скорости распространения низкочастотной волны, её периода и коэффициента затухания.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ЦЕПОЧКЕ СТЕРЖНЕЙ, СВЯЗАННЫХ ВЯЗКОУПРУГИМИ ПОСЛОЙКАМИ.
Рассмотрим модель, состоящую из системы одинаковых упругих стержней, связанных между собой прослойками. Движение стержней описывается уравнениями (1.1). Прослойки моделируются так же, как и для цепочки масс (рис. 1.12). Все прослойки между стержнями одинаковы. Силы , , действующие справа и слева на j-й стержень со стороны прослоек, согласно (1.19), определяются формулами
(1.21)

Полагаем, что на месте )-го стержня стоит жесткая стенка: .
(1.22)
Начальные условия нулевые. В момент времени t = 0 к левому концу нулевого стержня прикладывается полусинусоидальная нагрузка (1.3) c амплитудой .
Для цепочки масс использовалась система уравнений (1.20) для и уравнения для нулевой и последней массы
;
. (1.23)
Исследуем дисперсионные свойства цепочки масс с пружинами и демпферами. Применим к уравнениям (1.19) с нулевыми начальными условиями преобразование Лапласа по времени c параметром p и дискретное преобразование Фурье с параметром q. Получим решение задачи в изображениях
, , (1.24)
где — дисперсионный оператор системы. Подставим в дисперсионное уравнение , где , принимают только вещественные значения. Величина есть фазовая скорость волн, характеризует затухание. Анализ дисперсионного уравнения показывает, что при всех значениях волнового числа выполняется неравенство
, (1.25)
а фазовая скорость бесконечно длинных волн ( ) равна
. (1.26)
Зависимость определялась численно из дисперсионного уравнения (1.24). Результаты расчетов представлены на рис. 1.13 ( кг/мс, , , м, кг). Кривой 1 соответствует , 2 — , 3 — кг/мс, 4 — кг/м, 5 — кг/мс.

Рис. 1.13. Зависимость фазовой скорости от волнового числа
Из графика видно, что при некоторых параметрах максимальная скорость распространения волн достигается на волнах средней длины ( ), и она может быть выше скорости длинных волн (например, кривые 1, 2, 3), причем, в зависимости от параметров задачи это различие может быть значительным. Меняя параметр , можем добиться того, что скорость распространения волнового пакета, движущегося без дисперсии, будет меняться в пределах . Заметим, что значение примерно в 10 раз меньше скорости распространения звука в стержне.
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ
Система уравнений (1.1) с нулевыми начальными и граничными условиями (1.21), (1.22) решалась методом конечных разностей по явной схеме типа “крест”. Численная дисперсия минимизировалась с помощью оптимального выбора шагов сетки по пространству (h) и времени ( ): . Система уравнений (1.20), (1.23) решалась также методом конечных разностей: вторые производные по времени заменялись их разностным аналогом.
Экспериментальные зависимости ускорения от времени второго и десятого стержня в системе с прослойками из жесткой резины представлены на рис. 1.14а,б линиями 1. Линии 2 соответствуют расчетным зависимостям ускорения от времени, полученным с использованием упругопластической модели прослоек (рис. 1.12), параметры которой (приведены в таблице) подобраны так, чтобы обеспечить удовлетворительное согласие данных теории и эксперимента. Кривые 3 были рассчитаны при , . При данном нагружении результаты расчетов для стержневой системы и цепочки масс совпадают. Из сравнения теоретических и экспериментальных кривых видно, что при учете одной статической жесткости прослоек из резины получается значительное расхождение теории и эксперимента.

Рис. 1.14. Зависимости ускорения стержней от времени в системе с прослойками из плотной резины
В этом случае теоретическая скорость распространения волны значительно меньше экспериментальной . То же относится к коэффициенту затухания волны и величине основной частоты колебаний.
Для подобранных значений параметров , и удается удовлетворительно приблизить экспериментальные и теоретические кривые. Величины этих параметров приведены в таблице, как и значения скоростей распространения медленных волн.
Аналогичные расчеты были проделаны с экспериментальными данными, полученными для прослоек из пористой резины, линолеума и пенопласта. Параметры моделей этих прослоек, наилучшим образом описывающих эксперимент, также приведены в таблице.

Материал , Н/м
, Н/м
, Н/м
, Н/м
, м/с
, м/с
, кг/с
, кг/cРезина плотная 4.8 6.2 12 44 110 340 10000 500
Резина пористая 0.16 0.16 0.16 1.7 20 75 1000 10
Линолеум 0.8 1.8 5 46 45 340 10000 500
Пенопласт 3.5 3.5 5 93 115 1000 10
Из таблицы видно, что достаточно близко к только для пенопласта. Наибольшее отличие этих величин имеет место у линолеума и плотной резины, для которых максимально и затухание. Отметим, что кривые одноосного сжатия для этих материалов имеют максимально выраженный гистерезис при разгрузке. У пористой резины и пенопласта такой гистерезис значительно меньше и затухание волны, определяемое в расчетах величиной , слабее.
В заключение следует отметить:
— экспериментальные исследования по распространению волн в одномерных моделях блочных сред подтвердили существование маятниковых волн в блочных средах [2].
— скорость распространения маятниковых волн, период, степень их затухания существенно зависят от реологических свойств прослоек, таких как увеличение их жесткости с ростом скорости и величины нагружения, наличие гистерезиса в циклах растяжение – сжатие.
— удовлетворительное согласие теории и эксперимента удается получить с использованием вязкоупругой модели деформирования прослоек, состоящей из двух пар упругих и демпфирующих элементов, соединенных последовательно и параллельно.
1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОДНОМЕРНОЙ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В БЛОЧНОЙ СРЕДЕ НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМЫ КОМПАКТНЫХ БЛОКОВ
В настоящей работе использовалась модель блочной среды, составленная из стандартных силиконовых кирпичей [13]. Отличительной особенностью такой модели по сравнению со стержневой является более реалистичный для блочной горной породы характер распределенного контактного взаимодействия кирпичей, соприкасающихся, например, по большим граням. Цель работы — получить данные о скорости распространения маятниковой волны, о затухании ее максимальной амплитуды с расстоянием в зависимости от наличия резиновых прослоек и провести сопоставление с данными расчетной модели параграфа 1.2.
Схема экспериментальной сборки представлена на рис. 1.15. Кирпичи укладывались друг на друга большими гранями. Размер отдельного кирпича мм, его вес 5200 г при плотности 2.04 и продольной скорости звука 3100 м/с. Для фиксирования процесса прохождения упругих волн в такой блочной системе использовались акселерометры GT-200, которые крепились на нижней грани кирпичей с помощью прослойки из пластилина толщиной до 1 мм. С целью организации свободных площадок для крепления датчиков, кирпичи поочередно выдвигались из стопки на 25 мм. Датчики были установлены на шести верхних кирпичах из восьми (рис. 1.15). Вся сборка стояла на лабораторном столе. Наименьшая частота собственных колебаний всей системы при этом составляет 90 Гц.

Рис. 1.15. Расположение кирпичей и датчиков ускорения в экспериментальной сборке
В качестве внешнего возбудителя упругих волн использовался молоток, ударная часть которого изготовлена в виде стального цилиндра диаметром 13.8 мм и длиной 43 мм, с закрепленным на тыльной стороне акселерометром 9803 фирмы Брюль и Къер, позволяющим измерять силу и продолжительность удара. Возбуждаемые упругой волной электрические сигналы, поступающие от датчиков через систему усилителей и АЦП, фиксировались в памяти компьютера или запоминающего осциллографа. На рис. 1.16 приведена характерная осциллограмма сигналов датчиков, фиксирующих колебания отдельных блоков, которая демонстрирует прохождение упругого сигнала, создаваемого ударным воздействием молотка по верхнему кирпичу, через стопку из шести кирпичей с демпфирующими прослойками.
Кривая 1 соответствует записи силы воздействия молотка в процессе удара, а кривые 2 – 7 фиксируют сигналы акселерометров, закрепленных на блоках. Возрастание номеров кривых (справа) соответствует последовательности удаленности датчика от источника возбуждения упругих волн. Слева от графиков приведены максимальные значения сигналов. Упругая волна, инициированная ударом молотка на поверхности верхнего кирпича, воспринимается первым датчиком, закрепленным на нижней поверхности этого кирпича, как пакет монотонно затухающих высокочастотных волн с преимущественным периодом 300 мкс. Более высокочастотные волны, соответствующие собственным частотам продольных колебаний отдельного блока с периодом 55 мкс, имеют значительно меньшую амплитуду и малозаметны на осциллограммах. После прохождения первой контактной поверхности раздела между блоками амплитуда высокочастотного сигнала снижается. Датчик второго кирпича фиксирует волну, период которой значительно больше. На следующих кирпичах четко выделяется низкочастотная часть сигнала. Величина ускорения на последнем кирпиче всегда оказывается больше, чем на предыдущем. Как показали расчеты, это является следствием большой податливости опоры с коэффициентом жесткости Н/м, вызывающей значительное ускорение последнего кирпича при отражении волны.

Рис. 1.16. Распространение волны по сборке кирпичей с прослойками из вакуумной резины толщиной 1 мм; скорость низкочастотной волны 164 м/c; длительность удара 0.21 мс
Для расширения диапазона изменения расстояний от источника излучения до приемных датчиков использовался прием наложения сверху дополнительных кирпичей на сборку
(рис. 1.15), оснащенную датчиками. С каждой новой сборкой регистрировалось прохождение упругих сигналов, возбуждаемых ударами молотка различной интенсивности, наносимых по верхнему кирпичу.
Для унификации измерений датчиков при различных исходных возбуждающих импульсах введена безразмерная величина ускорения , где — максимальное ускорение молотка в процессе удара; a — ускорение, зафиксированное датчиком на кирпиче.
В качестве основных параметров, определяющих поведение упругой волны при ее прохождении через блочную систему, исследованы скорость распространения и затухание амплитуды первой волны волнового пакета.
Скорость распространения упругого сигнала определялась двумя способами. В первом — по разности времени между началом взаимодействия молотка и сборки, определяемого по сигналу, поступающему от датчика ударника, с учетом времени прохода упругой волны по цилиндрической части стального молотка, и первым максимумом сигнала приемного датчика. Определяемая таким образом скорость характеризует скорость маятниковой волны. Во втором случае, этот отрезок времени измерялся от начала сигнала ударника до первого вступления волнового пакета, регистрируемого приемным датчиком. При этом определяется скорость распространения сигнала , фиксируемого по вступлению. Расстояние от точки приложения удара и количество блоков до приемных датчиков изменялось в процессе проведения экспериментов. На рис. 1.17 приведены данные по измерениям скорости распространения упругой волны в зависимости от количества пройденных блоков. Измерения проведены первым способом. После преодоления волной двух контактных разделов между блоками ее скорость стабилизируется и не зависит от величины пройденного пути. При наличии резиновых прослоек между блоками устанавливается значение скорости , равное 164 м/с, а при их отсутствии — 316 м/с.

Рис. 1.17. Скорость распространения маятниковой волны в экспериментальной сборке с резиновыми прослойками (нижняя линия и квадратики) и без них (верхняя линия и кружечки) в зависимости от числа пройденных кирпичей n
Скорость, измеренная по начальным моментам подхода упругих волн к фиксирующим датчикам, существенно зависит от количества пройденных кирпичей. График такой зависимости (рис. 1.16) имеет экспоненциальный вид, при котором скорость распространения изменяется от величины в 3100 м/с, характерной для сплошной среды, до 400 – 600 м/с после прохождения восьми блоков и 700 мм пути. Это обстоятельство необходимо учитывать, например, при локации источников сигналов акустической эмиссии в блочных средах.
Наличие резиновых прослоек между кирпичами слабо, в пределах экспериментального разброса данных, влияет на скорость вступления с увеличением расстояния от источника удара до приемного датчика. Тем не менее, интерполирующая кривая, описывающая спад скорости при прохождении упругого сигнала через кирпичи с резиновыми прослойками, расположена ниже, чем соответствующая для сборки без прослоек. Экспериментальные данные скорости вступления упругого сигнала, проходящего через модельную блочную систему, хорошо описываются выражением, соответствующим кривым на рис. 1.18, , где — число пройденных волной блоков; , , — параметры интерполяции.

Рис. 1.18. Скорости распространения волн, определенные по вступлениям в сборке кирпичей с резиновыми прослойками (нижняя кривая и кружочки) и без них (верхняя кривая и ромбики)
Для сборки с резиновыми прослойками м/c, , м/c; без прослоек: м/с, , м/с.
Анализ фиксируемых датчиками максимальных амплитуд ускорений волнового сигнала дает возможность определить его затухание в зависимости от пройденного пути. На рис. 1.19 приведены сводные данные по величине максимального ускорения в низкочастотном сигнале в зависимости от числа пройденных блоков.

Рис. 1.19. Затухание амплитуды первой волны волнового пакета в зависимости от номера блока в сборке из кирпичей с резиновыми прослойками (нижняя кривая и треугольники) и без них (верхняя кривая и кружочки)
Из графика видно, что степень затухания сигнала существенно снижается при преодолении им определенного количества разделяющих кирпичи поверхностей. Это особенно заметно, когда между кирпичами проложены резиновые прослойки. Если при непосредственных контактах низкочастотный сигнал практически, в пределах разброса экспериментальных данных, перестает уменьшаться после преодоления 5 – 6 контактных разделов, то при наличии резиновых прослоек количество таких разделов уменьшается до 2. В каждом случае эти экспериментальные зависимости хорошо описываются соотношением , где , , — интерполяционные параметры, зависящие от отсутствия или наличия резиновых прослоек. При наличии прослоек: , , ; при непосредственном контакте: , , .
Полученные экспериментальные данные по скорости распространения и затуханию низкочастотных волн, порождаемых ударом в блочной системе, использованы для определения деформационных свойств контактов между блоками. Для этого проведены расчеты по одномерной модели цепочки масс, соединенных вязкоупругими пружинами (параграф 1.2.), закон деформирования которых описывается схематически параллельным и последовательным соединением упругих и демпфирующих элементов согласно рис. 1.12. Значения жесткостей пружин , и коэффициентов вязкости демпферов , определялись из условия максимального приближения теоретических и экспериментальных значений скорости распространения низкочастотной волны и ее затухания. Таким образом, для резиновых прослоек получено: Н/м, Н/м, , Нс/м. Для контакта без прослоек: Н/м, Н/м, Нс/м, Нс/м.
Теоретические кривые зависимостей ускорения от времени, соответствующие осциллограммам рис. 1.16, приведены на графиках рис. 1.20. Вертикальные отрезки на этих графиках соответствуют распространению прямой и отраженной маятниковой волны со скоростью 164 м/c. Для первых двух кирпичей расчетная модель дает форму низкочастотной волны, которую на экспериментальной осциллограмме не видно из-за собственных колебаний кирпичей. На третьем и последующих такая волна хорошо прослеживается. Можно видеть одинаковую скорость ее распространения и близкое затухание в теории и эксперименте. Наблюдаемое отличие в форме кривых можно объяснить, в частности, нерегулярностью контактов в сборке кирпичей, разделенных резиновыми прослойками. Описание распространения колебаний с частотами, определяемыми собственными колебаниями блоков в одномерной модели параграфа 1.1 затруднено, так как при продольном точечном ударе по сборке в первых кирпичах развиваются свободные колебания, соответствующие различным модам собственных колебаний как продольным и поперечным, так и изгибным. Этим объясняется зафиксированная на осциллограмме рис. 1.16 частота с периодом 300 мкс вместо 55 мкс, характерного для продольного резонанса.
На рис. 1.21, 1.22 представлены результаты экспериментального и теоретического определения ускорений кирпичей в волне, порожденной длительным ударом молотка через резиновую прокладку продолжительностью 1.85 мс. При таком ударе собственные колебания кирпичей возбуждаются слабо, и можно видеть достаточно хорошее соответствие колебаний первых двух кирпичей на экспериментальном и теоретическом графике.
Для случая сборки кирпичей без прослоек осциллограмма и расчетный график распространения низкочастотной волны приведен на рис. 1.23, 1.24.

Рис. 1.20. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей с резиновыми прослойками при ударе длительностью в 0.21 мс
Согласно рис. 1.23, при ударе по сборке кирпичей без дополнительных прослоек на первых трех кирпичах наблюдаются, как и на рис. 1.16, высокочастотные колебания с периодом 300 мкс. Теоретические графики рис. 1.24 описывают распространение низкочастотных колебаний, так как получены в модели одномерной цепочки масс, соединенных вязкоупругими пружинами. Соответствие в характере распространения низкочастотной волны на рис. 1.23, 1.24 удовлетворительно, особенно в диапазоне времен до прихода отраженной волны, отмеченной на рис. 1.24 более поздним, вторым вертикальным отрезком.

Рис. 1.21. Распространение волны по сборке кирпичей с прослойками из резины при ударе длительностью в 1.8 мс

Рис. 1.22. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей с резиновыми прослойками при ударе длительностью в 1.8 мс

Рис. 1.23. Распространение волны по сборке кирпичей без прослоек при ударе длительностью 0.21 мс

Рис. 1.24. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей без прослоек при ударе длительностью 0.21мс
Сравнение приведенных экспериментальных и теоретических зависимостей ускорения блоков во времени показывает:
? В рамках теоретической модели параграфа 1.2. удается описать распространение низкочастотной маятниковой волны колебаний в одномерной системе компактных блоков при ударном воздействии. При этом определяются деформационные свойства контактов блоков, для которых устанавливается хорошее соответствие теоретических и экспериментальных значений скорости распространения волны и степени ее затухания.
? Высокочастотные колебания, возникающие в блоках при кратковременном ударном воздействии, распространяются по системе быстро затухая. По частоте они соответствуют различным модам собственных колебаний блоков. Для теоретического их описания требуется уточнение модели деформирования блока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. На примере одномерных блочных систем показано, что рассмотрение блоков, как массивных недеформируемых тел, позволяет выделить из сложного динамического деформирования блочной среды ту ее часть, которая определяется деформированием прослоек между блоками. При этом в волне деформации, вызванной ударной нагрузкой выделяются низкочастотные волны маятникового типа с относительно слабым затуханием.
2. Сравнение данных расчетов по разработанным моделям с экспериментом показали
? скорость распространения маятниковых волн, период, степень их затухания определяются массой блоков и существенно зависят от реологических свойств прослоек, таких как увеличение их жесткости с ростом скорости и величины нагружения, наличие гистерезиса в циклах растяжение – сжатие.
? удовлетворительное согласие теории и эксперимента удается получить с использованием вязкоупругой модели деформирования прослоек, состоящей из двух пар упругих и демпфирующих элементов, соединенных последовательно и параллельно.
3. Полученные аналитические зависимости скорости одномерного распространения маятниковых волн, спектра их частот, степени затухания от свойств блочного массива являются базой для решения обратной задачи: определения свойств массива по данным сейсмического зондирования.

2. ДВУМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ

Предложена модель среды, имеющей блочную структуру. Предполагается, что каждый блок - есть абсолютно жесткое тело, а деформирование среды при распространении колебаний происходит за счет тонких упругих прослоек между блоками

Движение жестких блоков. Деформирование упругих безынерционных прослоек

Пусть по горному массиву, состоящему из блоков, распространяется динамическое возмущение. Уравнения движения центров масс блоков, описывающие это возмущение, имеют вид
, , (2.1)
где - масса блока и тензор его инерции при повороте относительно центра масс, - векторы перемещения и поворота, - радиус-вектор в некоторой системе координат. Через обозначен вектор напряжений с компонентами , действующий на контуре блока с внешней нормалью , векторы - внешняя сила и момент, приложенные к блоку.
Применим эти соотношения при выводе уравнений движения плоской задачи для регулярной блочной структуры [14], составленной из прямоугольных блоков (см. рис. 2.1). Пусть оси декартовой системы координат ориентированы вдоль сторон блоков. Полагаем, что прямоугольные блоки состоят из жесткой части в виде прямоугольного ядра с длинами сторон и пограничного слоя в виде в виде упругих прослоек со средней толщиной - вдоль вертикальных границ и - вдоль горизонтальных. Таким образом, расстояния между жесткими частями соседних блоков по горизонтали и вертикали равны , соответственно, а по середине этого составного слоя проходит линия контакта блоков.
Рассмотрим произвольный блок, поместив начало координат в его центре. Пусть - положение точки на стороне блока до деформации среды, а - координаты этой точки после деформации. При малых углах поворота блока относительно его центра компоненты вектора перемещения равны
,
,

где величины определяют перемещения центра блока. Если рассматриваемый блок имеет по горизонтали (в направлении оси ) номер , а по вертикали номер , то данные представления для перемещения блока с целочисленными координатами будем записывать в виде