Рис. 1.1
Свойства системы описываются параметрами: — плотность материала стержней, c — скорость звука, — длина, S — площадь поперечного сечения, k — жесткость пружин. Уравнения движения стержней имеют вид:
; , (1.1)
где — перемещение j-го стержня; штрих означает производную по продольной координате x; точка — по времени t. На концах стержней напряжения пропорциональны относительному удлинению пружин
; ; (1.2)
; .
Здесь E — модуль Юнга. Все пружины одинаковы. Начальные условия нулевые. В момент времени t = 0 к левому концу нулевого стержня прикладывается полусинусоидальная нагрузка c амплитудой :
; , (1.3)
где — частота воздействия, — функция Хевисайда.
Проанализируем более простую модель данной системы. Заменим стержни жесткими шариками, масса которых равна массе стержней , а жесткость пружин оставим прежней. Уравнения движения такой системы:
; ; . (1.4)
Здесь — перемещение j-го центра масс.
Аналитическое решение задач. Будем считать, что дискретная система бесконечна и к нулевому стержню (массе) приложена сила (1.3). Применим к уравнениям (1.1) – (1.4) с нулевыми начальными условиями преобразование Лапласа по времени
; .
К уравнениям движения стержней (1.1) применим непрерывное преобразование Фурье по пространственной координате x
; ,
а к уравнениям (1.4) для цепочки масс применим дискретное преобразование Фурье по j
; .
Введем обозначения
; ,
где . Тогда для j-го стержня из (1.1) имеем
. (1.5)
Получим для стержневой системы связь непрерывного преобразования Фурье по x с дискретным по j
; (1.6)
,
.
Применяя дискретное преобразование Фурье к системе уравнений (1.5) с граничными условиями (1.2) в предположении, что нагрузка приложена к середине нулевого стержня (для симметрии), найдем систему алгебраических уравнений для определения :
; (1.7)
.
Из (1.6) и (1.7) получим решение задачи в изображениях для стержневой системы
; (1.8)
;
; , (1.9)
где — дисперсионный оператор системы. Решение в изображениях для масс с пружинами
, . (1.10)
Проведем анализ дисперсионных свойств двух моделей. Из дисперсионного уравнения , где — круговая частота, для цепочки масс вычислим фазовую и групповую скорости
, .
Видно, что они при равны по величине
, , (1.11)
т. е. длинные волны движутся без дисперсии и формируют квазифронт.
Для стержневой системы появляются более высокие моды колебаний, связанные с отражениями от концов стержней. Из уравнения (1.9) получить явные зависимости , от волнового числа q не удается, однако в предположении малости возможно получить явные приближенные формулы для всех мод колебаний, которых бесконечно много из-за периодичности тригонометрических функций. Для первой и второй моды зависимости частоты , фазовых и групповых скоростей от волнового числа имеют вид:
, , , ; (1.12)
, , , ; (1.13)
, , .
Качественно поведение дисперсионных кривых для цепочки масс и для первой моды колебаний стержневой системы совпадает, количественно есть небольшие различия — максимальные значения и стержневой системы уменьшаются в раз по сравнению с цепочкой масс, максимальная частота — в . Частота соответствует колебаниям с периодом равным времени пробега продольной волны по стержню туда и обратно. Из формул (1.12), (1.13) следует, что с ростом , тем не менее, для всех параметров задачи , т. е. высокочастотная волна никогда не обгоняет низкочастотную.
На рис. 1.2 представлены графики зависимости частоты от волнового числа , найденные из дисперсионного уравнения (1.9) для первых двух мод колебаний ( ). Пунктирные линии соответствуют приближенным значениям , , . Видно, что они с большой точностью совпадают с численными результатами для малых . Если дисперсионное уравнение D = 0 представим в виде , то области частот, где , соответствуют зонам пропускания, для которых существуют распространяющиеся волны. Для частот, удовлетворяющих неравенству , дисперсионное уравнение имеет комплексное решение, которое определяет затухающие волны. Таких зон для стержневой системы бесконечно много. Первая зона непропускания . Для цепочки масс такой зоной является интервал .

Рис. 1.2
Проведем анализ распространения низкочастотных возмущений. Для этого воспользуемся обращением изображений (1.8), (1.10) на луче [7]. В задаче о возбуждении цепочки масс нагрузкой (1.3) асимптотика длинноволновых возмущений при в окрестности квазифронта имеет вид:
, , ,
, , , . (1.14)
Здесь — функция Эйри [10]. Видно, что с ростом времени амплитуда скоростей и разности смещений масс падает пропорционально , амплитуда ускорений падает пропорционально . Максимумы ускорений достигаются при , что соответствует . Из формулы (1.14) следует, что для больших закон затухания асимптотически стремится к степенному: .
Для стержневой системы асимптотика низкочастотной продольной волны имеет аналогичный вид с другими коэффициентами
, (1.15)
, , .
Спектральный анализ. Исследуем спектральные характеристики возмущений для полубесконечной цепочки масс. Применим преобразование Фурье по времени
,
к системе (1.4). Решение преобразованной системы ищем в виде . Коэффициент V находится из граничных условий. В результате получим:
, , , .
Отсюда следует, что спектр относительного удлинения пружин определяется формулой
(1.16)
Для полусинусоидального импульса (1.3) спектр нагрузки
.
Проводя аналогичные рассуждения, для стержневой системы получим спектр деформаций в середине стержней
(1.17)
, ,
, , , .
Здесь — начало следующей зоны пропускания. Область в данной работе не рассматривается. Из (1.17) видно, что интервалы и соответствуют волнам, распространяющимся с затуханием. Из этой формулы следует, что справедливо соотношение , которое показывает, что амплитуда спектра на частоте при превосходит амплитуду для при полусинусоидальном воздействии (1.3) с часто¬той .
Численные результаты. Аналитические оценки (1.14),(1.15) получены для бесконечно большого времени и для низкочастотных волн. Для того чтобы определить пределы применимости полученных асимптотических решений (1.14), (1.15) и найти решения для всех длин волн, проводились численные расчеты и сравнение аналитических оценок с численными результатами. Система уравнений (1.1) с нулевыми начальными и граничными условиями (1.2), (1.3) решались методом конечных разностей по явной схеме типа “крест”. Численная дисперсия минимизировалась с помощью оптимального выбора шагов сетки по пространству (h) и времени ( ): . Система уравнений (1.4) решалась также методом конечных разностей: вторые производные по времени заменялись их разностным аналогом.
На рис. 1.3 приведены графики относительных удлинений 20-й пружины рассчитанные для цепочки масс при полусинусоидальном воздействии (1.3) (толстая линия — конечно-разностное решение, тонкая — аналитическое решение (1.14)). Пунктир соответствует квазифронту (1.11). Параметры задачи следующие: m = 4.875 кг, k = 48.75 , , мс, . Анализ результатов показал, что асимптотика (1.14) качественно и количественно очень хорошо описывает распространение длинноволновых возмущений в окрестности квазифронта в цепочке масс уже при . Эти низкочастотные волны названы в [2] волнами маятникового типа.

Рис. 1.3
На рис. 1.4 представлены графики спектра возмущений (толстая линия — конечно-разностное, тонкая — аналитическое решение (1.16)). Параметры задачи те же, что и на рис. 1.3. Оценка (1.16) удовлетворительно совпадает с численными расчетами спектра для цепочки масс. Различия связаны с тем, что аналитическое решение получено, во-первых, для полубесконечного интервала времени, во-вторых, для дифференциального уравнения, в то время как численные результаты получены для конечного интервала и для конечно-разностного решения.

Рис. 1.4
Характер распространения возмущений по стержневой системе для случая резонансного возбуждения ( ) полусинусоидальной нагрузкой (1.3) проиллюстрирован на рис. 1.5, где приведены графики деформаций (рис. 1.5а — j = 5, рис. 1.5б — j = 10, рис. 1.5в — j = 20) и скорости (рис. 1.5г — j = 5) в середине стержней ( ). Пунктирные линии указывают положение квазифронтов , . Параметры задачи: , = 0.5 м, S = 0.00125 , k = 48.75 , c = 5 м/мс, мс, h = 0.005 м, . Данным параметрам соответствуют m = 4.875 кг и . Конечно-разностное решение для цепочки масс (m = 4.875 кг, k = 48.75 мс) представлено на рис. 1.5в тонкой линией. Асимптотика длинноволновых возмущений (1.15) не приведена, поскольку точно так же как в цепочке масс, она с большой точностью описывает амплитуду и форму головного пика. На рис. 1.6 представлены графики деформаций при (k = 195 ), рис. 1.6а — j = 5, рис. 1.6б — j = 10, остальные параметры те же, что и на рис. 1.5.




Рис. 1.5
Сравнение рис. 1.5а,г показывает, что в низкочастотной волне для скоростей и деформаций выполняется соотношение , в то время как для высокочастотных волн поведение огибающих существенно отличается. На рис. 1.5, 1.6 видно, что позади длинноволновых возмущений, распространяющихся со скоростью , движутся высокочастотные возмущения, частота которых равна , скорость движения огибающей этих волн близка к максимальной групповой скорости второй моды , а максимальная амплитуда превосходит амплитуду длинноволновых возмущений, если . Увеличение приводит к росту скоростей , и к повышению частоты огибающей (рис. 1.5, 1.6). Вывод о том, что скорость маятниковых волн в цепочке масс больше, чем в цепочке стержней, если жесткости пружин и массы шариков и стержней для обеих систем одинаковы, подтверждает рис. 1.5в.


Рис. 1.6
Как показали расчеты, с уменьшением частоты воздействия происходит перераспределение энергии: амплитуда низкочастотной волны растет, амплитуда высокочастотной волны убывает. Во внутренних сечениях стержня на деформацию оказывает большое влияние отражение волн от торцов стержня, в то же время эти отражения мало сказываются на относительном удлинении пружин, соединяющих стержни ( ).
На рис. 1.7 приведен спектр деформаций (толстая линия) в центре 10-го стержня, движение которого представлено на рис. 1.4б. Тонкая линия соответствует аналитической оценке (1.17) на интервале , пунктирные линии — значения частот , , . В отличие от цепочки масс появляется узкий пик, соответствующий зоне пропускания . Высота пика примерно в 1.5 раза меньше значения , найденного аналитически, что связано с погрешностями численного решения.

Рис. 1.7
Выводы. На примере стержневой модели показано, что при ударном возбуждении в блочной среде возникают две группы нестационарных волн. Со скоростью движется низкочастотная волна, амплитуда скоростей в которой убывает пропорционально с ростом времени при полусинусоидальном воздействии. Для описания низкочастотных волновых процессов система стержней может быть заменена цепочкой шариков той же массы, что и стержни, но с уменьшенной в раз жесткостью пружин. Со скоростью движется высокочастотный пакет волн, основная частота которого равна собственной частоте колебаний отдельного стержня.
Таким образом, определяя в эксперименте частоты и скорости распространения этих групп волн, можно определить структуру и механические параметры блочной среды.
1.2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СОСТАВНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ
В представленном исследовании для моделирования блочной структуры использовались стальные стержни диаметром 25 мм и длиной 100 мм, разделенные прослойками, которые изготавливались из листовой плотной и пористой резины, линолеума и пенопласта [11]. Преимуществом стальных стержней является возможность использовать при теоретическом моделировании процесса распространения волн в цепочке “стержни – прослойки” одномерные схемы деформирования.
Стержни, разделенные прослойками, располагались в вертикально установленной трубе с продольными прорезями для вывода кабелей регистрирующих движение датчиков. В качестве таких датчиков использовались акселерометры, встроенные продольно в несколько стержней. Эти стержни распределялись по длине верхней части сборки. По свободному торцу верхнего стержня производился удар, интенсивность которого фиксировалась акселерометром, установленным на ударнике. Длина сборки (2 м) позволяла регистрировать колебания стержней с акселерометрами до прихода волн, отраженных от нижнего торца сборки.
В экспериментах варьировались материал прослоек, длительность нагружающего ударного импульса и его амплитуда. Часть экспериментов проводилась в условиях поджатия сборки стержней с прослойками внешними натянутыми резиновыми тягами.
Характерным для данных, полученных в экспериментах, явилось выделение двух типов волн: низкочастотных и отстающих от них высокочастотных. Частота последних — 25 кГц, совпадает с частотой собственных колебаний свободного стального стержня длиной 100 мм.
Качественно такое поведение волн в составной системе “упругие стержни – пружины” совпадает с описанным теоретически в параграфе 1.1.
В отличие от данных теории в экспериментах наблюдается более интенсивное затухание волн в процессе их распространения. Особенно это касается высокочастотных волн, которые затухают очень сильно и практически регистрируются только на первых трех стержнях. Сильнее они возбуждаются при коротком ударном импульсе и распространяются дальше с увеличением жесткости прослоек. На рис. 1.8 приведены осциллограммы ускорений на первом, третьем и одиннадцатом стержнях в составной системе с прослойками из плотной резины.

Рис. 1.8. Экспериментальные осциллограммы ускорений на первом, третьем и одиннадцатом стержнях при коротком ударном импульсе
Другим отличием результатов данных экспериментов от теоретических явилось значительное расхождение в величинах скорости распространения низкочастотных волн. Теоретические значения, определенные по статическим значениям жесткости прослоек, оказались в несколько раз меньше экспериментальных. Все это можно объяснить неупругим поведением прослоек при деформировании в связи с чем было проведено исследование деформационных свойств прослоек при разных скоростях нагружения. В диапазоне нагружение проводилось на испытательном прессе Instron. Испытания показали, что для плотной резины (рис. 1.9) и линолеума характерен нелинейный рост модуля сжатия, гистерезис при разгрузке и значительное влияние скорости деформирования на вид диаграммы нагружения. Для пористой резины и пенопласта влияние скоростей нагружения оказалось слабым. Также мало отличие ветвей нагружения и разгрузки.
Данные по жесткости прослоек, полученные на Instron, приведены в таблице для силы сжатия 120 н и двух скоростей нагружения. Статическая жесткость соответствует минимальной скорости нагружения , динамическая определена при .